Xét không gian vectơ Euclid R 2 . {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.} Cơ sở chính tắc của không gian này bao gồm hai vectơ v 1 = ( 1 , 0 ) {\displaystyle v_{1}=(1,0)} và v 2 = ( 0 , 1 ) . {\displaystyle v_{2}=(0,1).} Nếu ta quay hai vectơ này một góc t, ta có cơ sở mới gồm các vectơ w 1 = ( cos ⁡ t , sin ⁡ t ) {\displaystyle w_{1}=(\cos t,\sin t)} và w 2 = ( − sin ⁡ t , cos ⁡ t ) . {\displaystyle w_{2}=(-\sin t,\cos t).}

Vì vậy, ma trận chuyển cơ sở là [ cos ⁡ t − sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}.}

Công thức chuyển cơ sở khẳng định rằng, nếu y 1 , y 2 {\displaystyle y_{1},y_{2}} là các tọa độ mới của một vectơ ( x 1 , x 2 ) , {\displaystyle (x_{1},x_{2}),} thì ta có

[ x 1 x 2 ] = [ cos ⁡ t − sin ⁡ t sin ⁡ t cos ⁡ t ] [ y 1 y 2 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos t&-\sin t\\\sin t&\cos t\end{bmatrix}}\,{\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}.}

Tức là,

x 1 = y 1 cos ⁡ t − y 2 sin ⁡ t và x 2 = y 1 sin ⁡ t + y 2 cos ⁡ t . {\displaystyle x_{1}=y_{1}\cos t-y_{2}\sin t\qquad {\text{và}}\qquad x_{2}=y_{1}\sin t+y_{2}\cos t.}

Có thể kiểm tra điều này bằng cách viết lại

x 1 v 1 + x 2 v 2 = ( y 1 cos ⁡ t − y 2 sin ⁡ t ) v 1 + ( y 1 sin ⁡ t + y 2 cos ⁡ t ) v 2 = y 1 ( cos ⁡ ( t ) v 1 + sin ⁡ ( t ) v 2 ) + y 2 ( − sin ⁡ ( t ) v 1 + cos ⁡ ( t ) v 2 ) = y 1 w 1 + y 2 w 2 . {\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}v_{1}+x_{2}v_{2}&=(y_{1}\cos t-y_{2}\sin t)v_{1}+(y_{1}\sin t+y_{2}\cos t)v_{2}\\&=y_{1}(\cos(t)v_{1}+\sin(t)v_{2})+y_{2}(-\sin(t)v_{1}+\cos(t)v_{2})\\&=y_{1}w_{1}+y_{2}w_{2}.\end{aligned}}}